CN105798930B - 基于龙伯格状态观测器的柔性机械臂系统饱和补偿控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于龙伯格状态观测器的柔性机械臂系统饱和补偿控制方法，包括：建立柔性机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数；采用龙伯格状态观测器，获得渐近收敛于系统真实状态的观测值；根据微分中值定理，将系统中的非线性饱和输入线性化处理，推导出带有未知饱和的柔性机械臂系统模型；进行通过动态面技术，在每一步设计中引入虚拟控制量，并依次通过一阶低通滤波器，避免传统反演控制法所带来的复杂度爆炸问题；同时，利用神经网络的自学习能力，能有效逼近非线性系统中复杂的非线性项。本发明提供一种能够有效改善柔性机械臂伺服系统控制性能的基于龙伯格状态观测器的神经网络自适应控制方法，实现系统的精确快速跟踪。

Description

基于龙伯格状态观测器的柔性机械臂系统饱和补偿控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于龙伯格状态观测器的柔性机械臂系统饱和补偿控制方法，特别是针对状态不可测以及带有输入饱和约束的机械臂伺服系统。

背景技术

随着工业自动化水平的不断提高，机械臂作为主要的自动化机械装置，凭借其可减省人工、操作方便、安全性好等优点，在数控机床、电子加工与检测设备、生产自动化等工业控制领域得到了广泛的应用。然而，传统的刚性机械臂存在灵动性较差、能耗大等缺点，往往会降低控制系统的效率与精度，使之难以满足高精密领域的要求。考虑到上述原因，柔性机械臂模型是非常有必要的。相对于刚性机械臂，柔性机械臂具有更多自由度，并且柔性机械臂系统具有更多非线性环节。但是柔性机械臂系统状态往往不可测，难以设计控制算法以实现对伺服系统的有效动态补偿。除此之外，伺服电机还存在控制输入饱和限幅问题，这也将影响控制器的控制精度。因此，如何实现对机械臂系统不可测状态的准确估计以及解决控制器输入饱和限幅问题，是柔性机械臂系统亟待解决的关键问题。

状态观测器是上世纪60年代龙伯格等人为实现对控制系统的状态反馈或其他需求提出的一种有效的控制方法，其简单的结构特点、适用面广及能代替传感器对系统未知状态进行有效估计的优点，为状态反馈技术提供了可能。因此，状态观测器技术被广泛应用于机器人、飞行器、自动化工业生产等领域。然而，在状态观测器设计过程中，存在系统阶次高以及大量复杂的非线性项等阻碍。神经网络具有自学习能力，能逼近系统中的任意未知光滑非线性函数。动态面控制技术作为非线性自适应控制的重要手段，能放松系统匹配条件并避免反演法对虚拟控制反复求导带来的“复杂性爆炸”问题。将神经网络自适应控制与动态面技术相结合，在控制器的分步设计中引入虚拟控制变量，依次通过一阶低通滤波器，并设计神经网络及相应自适应律以实现对复杂非线性项的动态补偿。发明内容

为了克服现有技术存在的系统状态不可测以及控制器输入饱和限幅等问题，本发明提出一种基于龙伯格状态观测器的柔性机械臂饱和补偿系统控制方法，采用龙伯格状态观测器获得渐近收敛于系统真实状态的观测值，采用双曲正切函数光滑处理饱和模型以实现其动态补偿，并通过动态面控制技术与神经网络相结合以避免传统反演控制方法所带来的“复杂度爆炸”问题，在此基础上设计自适应律与控制律，实现了系统快速稳定地跟踪期望信号。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于龙伯格状态观测器的柔性机械臂系统饱和补偿控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立柔性机械臂伺服系统动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：

1.1柔性机械臂伺服系统动态模型的运动方程表达式为

其中，q与θ分别为机械臂连杆和电机的转动角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J为电机的惯量；K为弹簧的刚度系数；M与L分别为连杆的质量与长度；v为控制信号；u(v)为饱和环节，表示式为

其中，sign(v)为未知非线性函数；u_M为未知饱和输入上界，且u_M＞0；

1.2定义：x₁＝q，x₃＝6，式(1)改写为

其中，x＝[x₁，x₂，x₃，x₄]^T，

y为系统位置输出轨迹；

步骤2：根据微分中值定理，将系统中的非线性输入饱和进行线性

化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服系统模型，过程如下：

2.1对饱和模型进行光滑处理

则

sat(v)＝g(v)+d(v) (5)

其中，d(v)表示光滑函数与饱和模型之间存在的误差；

2.2根据微分中值定理，存在μ∈(0，1)使

其中，v_μ＝μv+(1-μ)v₀，v₀∈(0，v)；选择v₀＝0，式(6)被改写为

2.3由式(5)和式(7)，将式(3)改写为以下等效形式

步骤3：设计柔性机械臂伺服系统的龙伯格观测器模型，并定义相关变量，过程如下：

3.1龙伯格观测器表达式为

其中，分别为观测器状态空间模型状态；l₁，l₂，l₃，l₄分别为观测器增益参数；为观测器输出；

3.2定义状态观测器观测误差及误差矩阵

E＝(e₁,e₂,e₃，e₄)^T (11)

步骤4：计算控制系统位置跟踪误差，选择神经网络逼近复杂非线性项，设计虚拟控制量，并通过一阶低通滤波器输出，更新神经网络权值与误差估计权值，过程如下：

4.1定义系统的跟踪误差为

s₁＝y₁-y_r (12)

其中，y_r为二阶可导期望轨迹；

4.2设计虚拟控制量α₁

其中,c₁为常数，且c₁＞0；

4.3定义一个新的变量z₂，让虚拟控制量α₁通过时间常数为τ₂的一阶低通滤波器

4.4定义滤波误差χ₂＝z₂-α₁，则

4.5定义误差变量

4.6为了逼近复杂的非线性不确定项定义以下神经网络

其中，为理想权重；为神经网络误差值理想值，ε_N2为神经网络误差值上界，满足的表达式为

其中，exp( )为指数函数，c_j＝[c_j1，c_j2]为隐含层第j个神经元的中心向量；b_j为神经元节点的基宽参数；

4.7设计虚拟控制量α₂

其中,c₂，δ为常数，且c₁＞0，δ＞0；

4.8定义一个新的变量z₃，让虚拟控制量α₂通过时间常数为τ₃的一阶低通滤波器

4.9定义滤波误差χ₃＝z₃-α₂，则

4.10设计神经网络权重估计值和自适应参数的调节规律为

其中，r₂，σ₂，η₂，δ₂为常数，且r₂＞0，σ₂＞0,η₂＞0,δ₂＞0；

4.11定义误差变量

4.12设计虚拟控制量α₃

其中,c₃为常数，且c₃＞0；

4.13定义一个新的变量z₄，让虚拟控制量α₃通过时间常数为τ₄的一阶低通滤波器

4.14定义滤波误差χ₄＝z₄-α₃，则

步骤5:设计控制器输入，过程如下：

5.1定义误差变量

5.2为了逼近不能直接得到的复杂非线性不确定项定义以下神经网络

其中，为理想权重；为神经网络误差理想值，ε_N4为神经网络误差上界，满足的表达式为

5.3设计控制器输入为v

其中，∈、c₄与a₄为常数，且∈，a₄，c₄＞0；

5.4神经网络权重估计值的调节规律为

其中，r₄与σ₄为常数，且r₄，σ₄＞0；

步骤6：设计李雅普诺夫函数

对式(32)进行求导得：

如果则判定系统是稳定的。

针对实际柔性机械臂机电伺服系统，其控制器的输入信号往往是有限的，这对设计控制器产生了较大的挑战性。为了提高跟踪控制性能，针对控制输入限幅的控制方法必不可少。其中，一些光滑非线性函数能有效拟合输入限幅函数，利用其对饱和模型进行光滑处理，能改善控制效果。因此，许多近似拟合输入限幅的控制方法被用来克服机械臂伺服系统的饱和限幅问题。

本发明针对柔性机械臂系统，基于状态观测器、神经网络和动态面控制理论，设计一种机械臂伺服系统的基于状态观测器的神经网络动态面控制方法，获得渐近收敛于系统真实状态的观测值，并克服控制器输入饱和限幅对控制精度的影响，实现对系统的位置轨迹的跟踪控制，保证跟踪误差的快速稳定收敛。

本发明的技术构思为：针对柔性机械臂伺服系统，考虑柔性关节的复杂动态方程，利用神经网络的自学习能力逼近系统中复杂的非线性项。采用动态面技术，在每一步设计过程中加入虚拟控制量，并通过依次通过一阶低通滤波器，其低通性能能有效避免传统反演控制方法所带来的“复杂度爆炸”问题。考虑到一些光滑非线性函数如双曲正切函数具有能有效拟合输入限幅函数的能力，完成对限幅函数的近似以克服输入受限问题。本发明提供中能有效估计柔性机械臂伺服系统不可测状态、克服输入饱和限幅实现动态补偿的神经网络滑模面控制方法，实现系统的稳定快速跟踪。

本发明的优点为：有效估计系统不可测状态，避免传统反演控制方法所带来的“复杂度爆炸”问题，补偿系统未知模型复杂非线性项，克服饱和输入限幅问题，实现对伺服系统位置轨迹的稳定快速跟踪。

附图说明

图1-4为本发明的状态观测效果的示意图；

图5-8为本发明的状态观测误差的示意图

图9为本发明的跟踪效果的示意图；

图10为本发明的跟踪误差的示意图；

图11为本发明的饱和控制输入的示意图；

图12为本发明的控制流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1–图12，一种基于龙伯格状态观测器的柔性机械臂系统饱和补偿控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立柔性机械臂伺服系统动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：

1.1柔性机械臂伺服系统动态模型的运动方程表达式为

其中，q与θ分别为机械臂连杆和电机的转动角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J为电机的惯量；K为弹簧的刚度系数；M与L分别为连杆的质量与长度；v为控制信号；u(v)为饱和环节，表示式为

其中，sign(v)为未知非线性函数；u_M为未知饱和输入上界，且u_M＞0；

1.2定义：x₁＝q，x₃＝θ，式(1)改写为

其中，x＝[x₁，x₂，x₃，x₄]^T，

y为系统位置输出轨迹；

步骤2：根据微分中值定理，将系统中的非线性输入饱和进行线性

化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服系统模型，过程如下：

2.1对饱和模型进行光滑处理

则

sat(v)＝g(v)+d(v) (5)

其中，d(v)表示光滑函数与饱和模型之间存在的误差；

2.2根据微分中值定理，存在μ∈(0，1)使

其中，v_μ＝μv+(1-μ)v₀，v₀∈(0，v)；选择v₀＝0，式(6)被改写为

2.3由式(5)和式(7)，将式(3)改写为以下等效形式

步骤3：设计柔性机械臂伺服系统的龙伯格观测器模型，并定义相关变量，过程如下：

3.1龙伯格观测器表达式为

其中，分别为观测器状态空间模型状态；l₁，l₂，l₃，l₄分别为观测器增益参数；为观测器输出；

3.2定义状态观测器观测误差及误差矩阵

E＝(e₁,e₂,e₃,e₄)^T (11)

步骤4：计算控制系统位置跟踪误差，选择神经网络逼近复杂非线性项，设计虚拟控制量，并通过一阶低通滤波器输出，更新神经网络权值与误差估计权值，过程如下：

4.1定义系统的跟踪误差为

s₁＝y₁-y_r (12)

其中，y_r为二阶可导期望轨迹；

4.2设计虚拟控制量α₁

其中,c₁为常数，且c₁＞0；

4.3定义一个新的变量z₂，让虚拟控制量α₁通过时间常数为τ₂的一阶低通滤波器

4.4定义滤波误差χ₂＝z₂-α₁，则

4.5定义误差变量

4.6为了逼近复杂的非线性不确定项定义以下神经网络

其中，为理想权重；为神经网络误差值理想值，ε_N2为神经网络误差值上界，满足的表达式为

其中，exp( )为指数函数，c_j＝[c_j1，c_j2]为隐含层第j个神经元的中心向量；b_j为神经元节点的基宽参数；

4.7设计虚拟控制量α₂

其中,c₂，δ为常数，且c₁＞0，δ＞0；

4.8定义一个新的变量z₃，让虚拟控制量α₂通过时间常数为τ₃的一阶低通滤波器

4.9定义滤波误差χ₃＝z₃-α₂，则

4.10设计神经网络权重估计值和自适应参数的调节规律为

其中，r₂，σ₂，η₂，δ₂为常数，且r₂＞0，σ₂＞0,η₂＞0,δ₂＞0；

4.11定义误差变量

4.12设计虚拟控制量α₃

其中,c₃为常数，且c₃＞0；

4.13定义一个新的变量z₄，让虚拟控制量α₃通过时间常数为τ₄的一阶低通滤波器

4.14定义滤波误差χ₄＝z₄-α₃，则

步骤5:设计控制器输入，过程如下：

5.1定义误差变量

5.2为了逼近不能直接得到的复杂非线性不确定项定义以下神经网络

其中，为理想权重；为神经网络误差理想值，ε_N4为神经网络误差上界，满足的表达式为

5.3设计控制器输入为v

其中，∈、c₄与a₄为常数，且∈，a₄，c₄＞0；

5.4神经网络权重估计值的调节规律为

其中，r₄与σ₄为常数，且r₄，σ₄＞0；

步骤6：设计李雅普诺夫函数

对式(32)进行求导得：

如果则判定系统是稳定的。

为验证所提方法的有效性，本发明给出了3种控制方法的对比：基于龙伯格观测器的带饱和补偿的动态面控制方法(S1)、基于龙伯格观测器的不带饱和补偿的动态面控制方法(S2)以及状态可测的带饱和补偿的动态面控制方法(S3)。

为了更有效的进行对比，所有参数设置都是一致的系统初始化参数为[x₁，x₂，x₃，x₄]^T＝[0.5，0，0，0]^T， [z₂，z₃，z₄]^T＝[-0.5，-3，1.25]^T；神经网络参数为c_ji＝[-3，-2，-1，0，1，2，3](i＝1，2)，d_ji＝[-3，-2，-1，0，1，2，3](i＝1，2，3，4)，b_j＝0.5；自适应控制律参数为r₂＝0.1，r₄＝1，σ₂＝0.01，σ₄＝0.01，δ＝0.2，a₄＝1；一阶低通滤波器的时间常数为τ₂＝0.02，τ₃＝5，τ₄＝1.6；系统模型参数为Mgl＝5,I＝1,J＝1,K＝40；控制器参数为c₁＝2.4，c₂＝4，c₃＝2，c₄＝11，∈＝5。

跟踪单位正弦波输入，其表达式为y＝sin x。S1、S2龙伯格状态观测器参数为l₁＝20,l₂＝145,l₃＝30,l₄＝-40；S1、S3的控制器饱和输入v_max＝10，S2控制器输入上界为v_max＝200。从图1-8可以看出，S1、S3方法的系统状态的观测误差在2.5秒内都能快速收敛并且保持在1％的误差带内；从图9-10中可以看出，S1输出在1.75秒内都能准确跟踪上给定输入信号并且误差保持在10％的误差带内；从图9-10中可以看出，S2输出在4秒内都能准确跟踪上给定输入信号并且误差保持在10％的误差带内；从图9-10中可以看出，S3输出在5秒内都能准确跟踪上给定输入信号并且误差保持在10％的误差带内；图11可以看出，在带有饱和输入控制器情况下，即使饱和限制较大，仍能实现系统的稳定跟踪。因此，本发明提供一种能够有效补偿未知饱和，克服状态不可测以及避免反演方法带来的“复杂度爆炸”问题的基于龙伯格状态观测器的神经网络动态面控制方法，实现系统的稳定快速跟踪。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.一种基于龙伯格状态观测器的柔性机械臂系统饱和补偿控制方法，其特征在于：所述方法包括以下步骤：

步骤1：建立柔性机械臂伺服系统动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：

1.1柔性机械臂伺服系统动态模型的运动方程表达式为

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>I</mi> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mi>g</mi> <mi>L</mi> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>J</mi> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>q</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，q与θ分别为机械臂连杆和电机的转动角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J为电机的惯量；K为弹簧的刚度系数；M与L分别为连杆的质量与长度；v为控制信号；u(v)为饱和环节，表示式为

<mrow> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>v</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>v</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，sign(v)为未知非线性函数；u_M为未知饱和输入上界，且u_M＞0；

1.2定义：x₁＝q，x₃＝θ，式(1)改写为

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>J</mi> </mfrac> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，x＝[x₁，x₂，x₃，x₄]^T

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y为系统位置输出轨迹；

步骤2：根据微分中值定理，将系统中的非线性输入饱和进行线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服系统模型，过程如下：

2.1对饱和模型进行光滑处理

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>*</mo> <mi>tanh</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>v</mi> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>v</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

则

sat(v)＝g(v)+d(v) (5)

其中，d(v)表示光滑函数与饱和模型之间存在的误差；

2.2根据微分中值定理，存在μ∈(0，1)使

<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <msub> <mi>v</mi> <mi>&amp;mu;</mi> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 1

其中，v_μ＝μv+(1-μ)v₀，v₀∈(0，v)；

选择v0_＝0，式(6)被改写为

<mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>g</mi> <msub> <mi>v</mi> <mi>&amp;mu;</mi> </msub> </msub> <mi>v</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

2.3由式(5)和式(7)，将式(3)改写为以下等效形式

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>J</mi> </mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <msub> <mi>v</mi> <mi>&amp;mu;</mi> </msub> </msub> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

步骤3：设计柔性机械臂伺服系统的龙伯格观测器模型，并定义相关变量，过程如下：

3.1龙伯格观测器表达式为

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>f</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>f</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>f</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>J</mi> </mfrac> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>f</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，分别为观测器状态空间模型状态；l₁，l₂，l₃，l₄分别为观测器增益参数；为观测器输出；

3.2定义状态观测器观测误差及误差矩阵

E＝(e₁，e₂，e₃，e₄)^T (11)

步骤4：计算控制系统位置跟踪误差，选择神经网络逼近复杂非线性项，设计虚拟控制量，并通过一阶低通滤波器输出，更新神经网络权值与误差估计权值过程如下：

4.1定义系统的跟踪误差为

s₁＝y₁-y_r (12)

其中，y_r为二阶可导期望轨迹；

4.2设计虚拟控制量α₁

<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中,c₁为常数，且c₁＞0；

4.3定义一个新的变量z₂，让虚拟控制量α₁通过时间常数为τ₂的一阶低通滤波器

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

4.4定义滤波误差χ₂＝z₂-α₁，则

<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;chi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

4.5定义误差变量

<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

4.6为了逼近复杂的非线性不确定项定义以下神经网络

其中，为理想权重； 为神经网络误差值理想值，ε_N2为神经网络误差值上界，满足 的表达式为

其中，exp( )为指数函数，c_j＝[c_j1，c_j2]为隐含层第j个神经元的中心向量；b_j为神经元节点的基宽参数；

4.7设计虚拟控制量α₂

其中,c₂，δ为常数，且c₁＞0，δ＞0；

4.8定义一个新的变量z₃，让虚拟控制量α₂通过时间常数为τ₃的一阶低通滤波器

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

4.9定义滤波误差χ₃＝z₃-α₂，则

<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;chi;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

4.10设计神经网络权重估计值和自适应参数的调节规律为

其中，r₂，σ₂，η₂，δ₂为常数，且r₂＞0，σ₂＞0,η₂＞0,δ₂＞0；

4.11定义误差变量

<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

4.12设计虚拟控制量α₃

<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中,c₃为常数，且c₃＞0；

4.13定义一个新的变量z₄，让虚拟控制量α₃通过时间常数为τ₄的一阶低通滤波器

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

4.14定义滤波误差χ₄＝z₄-α₃，则

<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;chi;</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

步骤5:设计控制器输入，过程如下：

5.1定义误差变量

<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

5.2为了逼近不能直接得到的复杂非线性不确定项定义以下神经网络

其中，为理想权重； 为神经网络误差理想值，ε_N4为神经网络误差上界，满足 的表达式为

5.3设计控制器输入为v

其中，∈、c₄与a₄为常数，且∈，a₄，c₄＞0；

5.4神经网络权重估计值的调节规律为

其中，r₄与σ₄为常数，且r₄，σ₄＞0；

步骤6：设计李雅普诺夫函数

<mrow> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>E</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>P</mi> <mi>E</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>&amp;chi;</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>4</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

对式(32)进行求导得：

<mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mover> <mi>E</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>P</mi> <mi>E</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>E</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>P</mi> <mover> <mi>E</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;chi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;chi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>4</mn> </msub> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>4</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

如果则判定系统是稳定的。