CN105930647B - 一种考虑多失效模式的梁结构非概率可靠性求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑多失效模式的梁结构非概率可靠性求解方法，考虑强度及刚度两种失效模式相关性，首先充分考虑材料特性、环境外载等存在的多源不确定因素，采用区间数学、模糊数学对其量化并开展传播分析；其次，将不确定因素引入到一般可靠性求解理论中，发展非概率可靠性求解方法，基于此方法分别开展梁结构的强度与刚度可靠度分析；最后，综合考虑两种失效模式相关性，建立相关性本构关系方程，实现失效模式间相关性的合理表征。本发明给出了不同失效模式对结构强度可靠性的综合影响，并可实现结构强度综合优化设计，确保设计本身兼顾安全性和经济性。

Description

一种考虑多失效模式的梁结构非概率可靠性求解方法

技术领域

本发明涉及板结构的非概率可靠性指标求解技术领域，特别涉及考虑多种失效模式共同作用下，其相关性的合理表征及精确度量，各失效模式对结构系统整体破坏的敏度分析，及结构失效的非概率可靠性指标求解方法的建立与制定。

背景技术

梁结构以其易于加工、形式规整、成型技术成熟等优点成为具有优良特性的结构元件的结构主要选择形式，梁结构不仅被大量应用于航空航天、船舶、兵器等军工领域，还作为最基本和最主要的构件频繁出现在桥梁、建筑等民用结构系统中。因此，针对板结构的力学特性分析与设计技术研究具有重要的理论意义与工程实用价值。

然而，工程梁结构的服役环境相对复杂，加工工艺的不可控性、材料属性的不均匀性、几何结构的测量模糊性，外部荷载的随机性等等都会加剧板结构破坏的不确定性，此外，结构的破坏通常是由多种失效模式共同作用而引起，而非互相独立，因此如何考量失效模式间的相关性成为解决结构破坏可靠度指标求解问题的关键，上述问题中的不确定因素的广泛存在所带来的不确定效应伴随整个结构破坏过程，更加剧了多种失效模式间的相互影响，使得结构破坏过程更为复杂，由此可见，传统的结构可靠性分析及求解方法已经不再适用。综合上述情况，针对梁结构的考虑失效模式间相关性的非概率可靠性求解方法更具有工程应用价值。

当前，国内外学者与工程技术人员对梁结构的不确定性分析与可靠性求解研究主要集中在两个方面：(1)基于概率统计理论及安全系数方程的结构不确定性影响包络；(2)考虑结构多种失效模式间线性相关的可靠性求解方法。上述工作具有一定的工程实用价值，但是忽略了不确定因素的精细化度量对结构可靠性的影响程度，及其区间变量间存在的强非线性相关性，因此大大限制了其理论的工程实用化进程。

由于实际工程中贫信息、少数据的情况时有发生，建立以非概率理论框架为基础的不确定性表征技术、结构可靠度求解评估技术、包络线性与非线性相关性建模与求解技术具有显著的现实意义。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种针对梁结构，考虑强度及刚度两种失效模式下相关性的非概率可靠性求解方法。本发明充分考虑实际工程问题中普遍存在的不确定性因素，构建能够合理表征失效模式相关性的数学模型，提出考虑不同失效模式间的线性/非线性相关性的非概率可靠性指标求解方法，所得到的结果更加符合真实情况，工程适用性更强。本发明采用的技术方案实现步骤如下：

第一步：利用区间向量x∈x^I＝(E,P,R,r_允许)表征样本值小于10的小样本下结构不确定性信息，即：弹性模量E，环境外载P，结构抗力R及安全位移r_允许，得到：

其中，弹性模量、环境外载、结构抗力、安全位移分别表示为区间变量，上标U代表参量的取值上界，上标L代表参量的取值下界，上标c代表中心值，上标r代表半径，E^U,P^U,R^U,r_允许 ^U分别为弹性模量、环境外载、结构抗力、安全位移等区间变量上限值，E^L,P^L,R^L,r_允许 ^L分别为弹性模量、环境外载、结构抗力、安全位移等区间变量下限值；

第二步：根据梁结构的材料属性、载荷边界条件，其中：材料属性指弹性模量E，载荷边界条件是指环境外载P，分别推演梁结构的强度失效及刚度失效极限状态方程的显式表达式，即：

M₁＝R-S(X_i)＝0

M₂＝R'(X_i)-r_允许＝0

其中，M₁为结构强度失效极限状态方程，M₂为结构刚度失效极限状态方程，X_i为区间变量，包括弹性模量E，环境外载P，R为结构抗力随机过程，S为载荷效应随机过程，R'(X_i)为广义安全位移，r_允许为安全位移；

第三步：将第一步表征的结构不确定性信息x＝(E,P,R,r_允许)代入到第二步中的梁结构的强度失效及刚度失效极限状态方程的显式表达式，引入非概率区间过程理论，建立强度失效与刚度失效模式下的非概率极限状态方程，分别实现两种失效模式极限状态方程的显式表达；即：

M₁＝[R]-S([E],[P])＝0

M₂＝R'([E],[P])-[r_允许]＝0

其中，E、P均为区间变量，[E]＝(E^U,E^L),[P]＝(P^U,P^L)；

第四步：依据第三步中含有区间变量参数的强度、刚度两种失效模式的极限状态方程，确定如下失效准则，即：M_i(E,P,R,r_允许)＜0，i＝1,2，结构失效，M_i(E,P,R,r_允许)＞0，结构安全，根据上述失效准则，计算梁结构的失效度指标及可靠度指标：

其中，M_i表示梁结构的失效极限状态方程，E,P,R,r_允许分别为弹性模量、环境外载、结构抗力、安全位移区间变量，F_set、R_set分别为失效度指标和可靠度指标，S_总表示标准空间总面积，S_失效域表示极限状态方程分割标准空间后失效域面积，S_安全域表示极限状态方程分割标准空间后安全域面积；

第五步：基于第三步与第四步中所建立的强度、刚度两种失效模式区间变量及极限状态方程，生成区间变量对应的随机序列{G_i}，通过所建立的两种失效模式极限状态方程转换为区间变量响应F_j({G_i})，利用Matlab软件绘制响应散点分布图，依据强度、刚度两种失效模式极限状态方程响应散点分布图，采用非参数法对两种失效模式经验分布函数近似逼近，并构建能够合理表征强度、刚度两种失效模式间相关性的Copula函数C(u,v,α)，其中α为待估参数，参数α为强度、刚度两种失效模式的相关系数，可通过极大似然函数估计求得，极大似然函数通过本申请中的区间变量构建，u为强度失效模式的经验分布函数，v为刚度失效模式的经验分布函数，基于所建立的相关性Copula函数，采用极大似然估计法对Copula函数中参数α进行估计，求解两种失效模式下结构响应的相关系数α；

第六步：利用系统可靠性求解方法，综合考虑两种结构失效模式，并引入第六步中求解的相关系数α，选取串联、并联及混合破坏模式可靠性求解算法求解整个结构系统的可靠度指标。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明提供了考虑失效模式相关性梁结构的可靠性指标求解新方法，弥补和完善了传统基于概率理论及安全系数法的线性相关可靠性设计方法的局限性。所构建的相关性模型包络了线性及非线性所有形式，一方面在单一模式可靠性求解算法中，降低了对样本信息的依赖性，另一方面在考虑多种失效模式相关性的前提下，构建合理表征相关性模型，提高了结构可靠度求解精度及合理性。

附图说明

图1是本发明针对梁结构考虑强度失效与刚度失效相关性的可靠性求解方法流程；

图2是本发明提出的基于非概率理论求解可靠度指标示意图；

图3是本发明针对两种失效模式响应分布函数核估计示意图；

图4是本发明针对两种失效模式响应联合分布函数频率直方图；

图5是本发明考虑两种失效模式相关性构建的Copula密度函数及分布函数示意图；

图6是本发明针对拟建的悬臂梁结构几何模型示意图。

具体实施方式

如图1所示，本发明提出了一种针对梁结构考虑强度失效与刚度失效相关性的非概率可靠性求解方法，包括以下步骤：

(1)利用区间向量x∈x^I＝(E,P,R,r_允许)合理表征样本值小于10的小样本下结构不确定性信息，于是有：

其中，材料属性、载荷效应、几何参数可分别表示为区间变量，上标U代表参量的取值上界，上标L代表参量的取值下界，上标c代表中心值，上标r代表半径。E^U,P^U,R^U,r_允许 ^U分别为弹性模量、环境外载、结构抗力、安全位移等区间变量上限值，E^L,P^L,R^L,r_允许 ^L分别为弹性模量、环境外载、结构抗力、安全位移等区间变量下限值，不确定性参数向量x可以表示为：

x＝[x^L,x^U]＝[x^c-x^r,x^c+x^r]

＝x^c+x^r[-1,1]

＝x^c+x^r×a

其中，a∈Ξ⁴，Ξ⁴定义为所有元素包含在[-1,1]内的4维向量集合，符号“×”定义为两个向量各对应元素相乘的算子，乘积仍为维数为4的向量。

(2)根据梁结构的材料属性：弹性模量E、环境外载P，分别推演结构的强度失效及刚度失效极限状态方程的显式表达式。即：

M₁＝R(X_i)-S(X_i)＝0

M₂＝R'(X_i)-r_允许＝0

其中，M₁为结构强度失效极限状态方程，M₂为结构刚度失效极限状态方程，X_i为区间变量，R为结构抗力随机过程、S为载荷效应随机过程、R'(X_i)为广义安全位移、r_允许为安全位移；

(3)将第一步表征的结构不确定性信息x＝(E,P,R,r_允许)代入到第二步中的结构极限状态方程的显式表达式中，引入非概率区间过程理论，建立强度失效与刚度失效模式下的非概率极限状态方程，分别实现两种失效模式极限状态函数的显式表达；即：

M₁＝[R]-S([E],[P])＝0

M₂＝R'([E],[P])-[r_允许]＝0

其中，E、P、R、r_允许均为区间变量；材料参数、外部载荷均被量化在一个区间过程模型中，对基本区间变量x_i(i＝1，2，…，4)做标准变换：

x_i＝x_i ^c+x_i ^r×e

其中x_i(i＝1，2，…，4)对应区间变量E、P、R、r_允许；对于结构两种失效模式的极限状态方程，应用区间数学及标准化处理手段显式表征；并转换工作坐标系至标准坐标系，其中e_i∈(-1,1)，极限状态方程即为：

M₁＝R(x_i+x_i ^r×e_i)-S(x_i+x_i ^r×e_i)

M₂＝R'(x_i+x_i ^r×e_i)-r_允许(x_i+x_i ^r×e_i)

依据极限状态方程可以得到R,S的区间范围，同时对R,S做标准变换：

e_S＝(S-S^c)/S^r,e_R＝(R-R^c)/R^r

e_r＝(r_允许-r_允许 ^c)/r_允许 ^r,e_R'＝(R'-R^'c)/R^'r

其中：

将上式代入极限状态方程得：

M₁＝R^re_R-S^re_S+(R^c-S^c)

M₂＝R^'re_R'-r_允许 ^re_r允许+(R^'c-r_允许 ^c)

其中，R^'c为安全位移中心值，r_允许 ^c为允许安全位移中心值，R^c为抗力中心值，S^c为载荷中心值，R^'r为安全位移半径，r_允许 ^r为允许安全位移半径，R^r为抗力半径，S^r为载荷半径，e_R'为标准变换后的安全位移，e_r允许为标准变化后的允许安全位移，e_R为标准变化后的抗力，e_S为标准变化后的载荷。

(4)通过定义含有区间变量参数的极限状态方程的失效准则，并将标准化后区间变量代入到极限状态方程中，提出针对梁结构的标准化失效度与可靠度指标，图2给出了非概率可靠性求解方法的几何表达：

其中，M_i表示标准化变量空间极限状态方程，F'_set、R'_set分别为标准化后失效度指标、可靠度指标，S_总表示标准空间总面积，S_失效域表示极限状态方程分割标准空间后失效域面积，S_安全域表示极限状态方程分割标准空间后安全域面积；

(5)基于两种失效模式区间变量，生成区间变量对应的随机序列{G_i}，通过极限状态方程转换为区间变量响应F_j({G_i})，依据所绘制的响应散点分布图，采用非参数法对两种失效模式总体分布函数近似逼近，并构建能够合理表征两种失效模式间相关性的Copula函数C(u,v,α)，其中u,v为区间变量的边缘分布函数，α为待估参数，Copula函数参数的估计，针对两种失效模式响应F_j({G_i})散点图的绘制，观察其相关性形式，一般情况下总体分布难以得知，需要对样本进行近似估计，在未知样本分布的情况下，采用非参数法对区间变量边缘分布进行核估计，得到变量的边缘分布F(X_i)i＝1,2,…n进而建立连接区间变量相关性的Copula函数，即：

H(Y₁,Y₂,Y₃,…,Y_n)＝C(F(X₁),F(X₂),F(X₃),…,F(X_n))

其中，C(*)为连接基本变量边缘分布函数的Copula函数，此函数形式根据极限状态函数经验分布散点图进行选择，定义为：

c(v₁,v₂,…,v_n,α)为基本变量结构相关性部分，为边缘概率密度函数乘积，采用极大似然估计法估计Copula函数未知参数，进而求得结构各失效模式的相关系数ρ(Y₁,Y₂,Y₃,…,Y_n)。

(6)利用系统可靠性求解方法，综合考虑结构失效模式，选取串联、并联及混合破坏模式可靠性求解算法求解整个结构系统的可靠度指标，本发明中考虑静强度失效与疲劳强度失效两种失效模式的相关性，即一种失效模式出现，系统就发生破坏，因此属于串联系统，此系统考虑两种失效模式，则系统失效概率为：

P_fs＝P(g₁(x₁,x₂,…,x_n)≤0∪g₂(x₁,x₂,…,x_n)≤0)

＝P(g₁(x₁,x₂,…,x_n)≤0)+P(g₂(x₁,x₂,…,x_n)≤0)-P(g₁(x₁,x₂,…,x_n)≤0)∩P(g₂(x₁,x₂,…,x_n)≤0)

＝P_f1+P_f2-C(P_f1,P_f2)

其中，P_fj为各失效模式失效概率，j＝1,2，C(*)表示Copula函数；

由此，可以将其推广到k种失效模式，则系统失效概率为：

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图6所示拟建的悬臂梁结构进行基于考虑强度与刚度相关性的可靠性求解。该梁结构一端承受纵向载荷P，L＝2m，b＝28mm，h＝55mm，综合几何尺寸以及载荷条件，可以求解出两种失效模式极限状态函数的显示表达，即强度函数：M₁＝R-PL，刚度函数：表1给出了实施例中悬臂梁结构的不确定性信息。

表1

该实施例利用本发明中所提出的非概率可靠性求解方法得出强度可靠度p_f1为0.9585刚度可靠度p_f2为0.9566，强度经验分布函数、刚度经验分布函数如图3(a)、(b)，通过图4可以看出两种失效模式同时存在上尾相关性及下尾相关性，因此选取混合Copula函数形式：C(u,v,α)＝αC₁(u,v,γ)+(1-α)C₂(u,v,θ)，其密度函数、联合分布函数如图5(a)、(b)，采用最大似然估计法估计相关参数：α＝0.5675,γ＝2.6480,θ＝2.8890，将失效概率P_f1,P_f2代入式：

P_fs＝P(g₁(x₁,x₂,…,x_n)≤0∪g₂(x₁,x₂,…,x_n)≤0)＝P_f1+P_f2-C(P_f1,P_f2)

综合考虑两种失效模式相关性得出失效概率指标为0.0714，可靠度指标为0.9286。

综上所述，本发明提出了一种针对梁结构，考虑强度及刚度两种失效模式下相关性的非概率可靠性求解方法。首先，根据梁结构几何、材料、缺陷以及载荷等情况的具体特征，结合非概率理论求得各失效模式极限状态函数；其次，将不确定性信息引入建立区间过程模型，实现考虑不确定性因素的各失效模式可靠度求解；再次，根据各失效模式极限状态函数联合经验分布图，构建能够合理表征失效模式间相关性的Copula函数族；最后，利用系统可靠性求解理论求解考虑失效模式相关性的可靠性指标，一般多失效模式可视为串联系统来处理。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于结构多失效模式的可靠性求解领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (7)

1.一种考虑多失效模式的梁结构非概率可靠性求解方法，其特征在于：考虑强度及刚度两种失效模式相关性，实现步骤如下：

第一步：利用区间向量x∈x^I＝(E,P,R,r_允许)表征样本值小于10的小样本下结构不确定性信息，即：弹性模量E，环境外载P，结构抗力R及安全位移r_允许，得到：

其中，弹性模量、环境外载、结构抗力、安全位移分别表示为区间变量，上标U代表参量的取值上界，上标L代表参量的取值下界，上标c代表中心值，上标r代表半径，E^U,P^U,R^U,r_允许 ^U分别为弹性模量、环境外载、结构抗力、安全位移区间变量上限值，E^L,P^L,R^L,r_允许 ^L分别为弹性模量、环境外载、结构抗力、安全位移区间变量下限值；

第二步：根据梁结构的材料属性、载荷边界条件，其中：材料属性指弹性模量E，载荷边界条件是指环境外载P，分别推演梁结构的强度失效及刚度失效极限状态方程的显式表达式，即：

M₁＝R-S(X_i)＝0

M₂＝R'(X_i)-r_允许＝0

其中，M₁为结构强度失效极限状态方程，M₂为结构刚度失效极限状态方程，X_i为区间变量，包括弹性模量E，环境外载P，R为结构抗力随机过程，S为载荷效应随机过程，R'(X_i)为广义安全位移，r_允许为安全位移；

第三步：将第一步表征的结构不确定性信息x＝(E,P,R,r_允许)代入到第二步中的梁结构的强度失效及刚度失效极限状态方程的显式表达式，引入非概率区间过程理论，建立强度失效与刚度失效模式下的非概率极限状态方程，分别实现两种失效模式极限状态方程的显式表达；即：

M₁＝[R]-S([E],[P])＝0

M₂＝R'([E],[P])-[r_允许]＝0

其中，E、P均为区间变量，[E]＝(E^U,E^L),[P]＝(P^U,P^L)；

第四步：依据第三步中含有区间变量参数的强度、刚度两种失效模式的极限状态方程，确定如下失效准则，即：M_i(E,P,R,r_允许)＜0，i＝1,2，结构失效，M_i(E,P,R,r_允许)＞0，结构安全，根据上述失效准则，计算梁结构的失效度指标及可靠度指标：

其中，M_i表示梁结构的失效极限状态方程，E,P,R,r_允许分别为弹性模量、环境外载、结构抗力、安全位移区间变量，F_set、R_set分别为失效度指标和可靠度指标，S_总表示标准空间总面积，S_失效域表示极限状态方程分割标准空间后失效域面积，S_安全域表示极限状态方程分割标准空间后安全域面积；

第五步：基于第三步与第四步中所建立的强度、刚度两种失效模式区间变量及极限状态方程，生成区间变量对应的随机序列{G_i}，通过所建立的两种失效模式极限状态方程转换为区间变量响应F_j({G_i})，利用Matlab软件绘制响应散点分布图，依据强度、刚度两种失效模式极限状态方程响应散点分布图，采用非参数法对两种失效模式经验分布函数近似逼近，并构建能够合理表征强度、刚度两种失效模式间相关性的Copula函数C(u,v,α)，其中α为待估参数，参数α为强度、刚度两种失效模式的相关系数，可通过极大似然函数估计求得，极大似然函数通过区间变量构建，u为强度失效模式的经验分布函数，v为刚度失效模式的经验分布函数，基于所建立的相关性Copula函数，采用极大似然估计法对Copula函数中参数α进行估计，求解两种失效模式下结构响应的相关系数α；

第六步：利用系统可靠性求解方法，综合考虑两种结构失效模式，并引入第五步中求解的相关系数α，选取串联、并联及混合破坏模式可靠性求解算法求解整个结构系统的可靠度指标。

2.根据权利要求1所述的考虑多失效模式的梁结构非概率可靠性求解方法，其特征在于：所述第一步中的区间向量x，通过标准化变换方法求得：

x＝[x^L,x^U]＝[x^c-x^r,x^c+x^r]

＝x^c+x^r[-1,1]

＝x^c+x^r×a

其中，a∈Ξ⁴，Ξ⁴定义为所有元素包含在[-1,1]内的4维向量集合，符号“×”定义为两个向量各对应元素相乘的算子，乘积仍为维数为4的向量，为区间变量中心值，为区间变量半径，

3.根据权利要求1所述的考虑多失效模式的梁结构非概率可靠性求解方法，其特征在于：所述步骤二中梁结构的强度、刚度两种失效模式的极限状态方程的计算表达式取决于材料、载荷输入参数的共同作用。

4.根据权利要求1所述的考虑多失效模式的梁结构非概率可靠性求解方法，其特征在于：所述步骤三中两种失效模式的极限状态方程被量化在一个区间过程模型中，区间变量通过标准化变换后，代入所建立的两种失效模式极限状态方程进行显式表征；并转换工作坐标系至标准坐标系，其中e∈(-1,1)，建立标准化极限状态方程即为：

M₁＝R(E^c+E^r×e,P^c+P^r×e)-S(E^c+E^r×e,P^c+P^r×e)

5.根据权利要求1所述的考虑多失效模式的梁结构非概率可靠性求解方法，其特征在于：所述步骤四中梁结构失效度指标F_set(X)可靠度指标R_set(X)的计算需借助标准变换方法，求得标准变换后的梁结构失效度指标F′_set(X)，可靠度指标R′_set(X)。

6.根据权利要求1所述的考虑多失效模式的梁结构非概率可靠性求解方法，其特征在于：所述步骤五中Copula函数参数的估计方法：设两种失效模式相关函数为C(u,v,α)，其中，u＝F(X_i,γ)为强度经验分布函数，v＝G(Y_i,θ)为刚度经验分布函数，令：H(X_i,Y_i,γ,θ,α)＝C(F(X_i,γ),G(Y_i,θ),α)，其中，γ,θ,α为待估参数，X_i∈(P,E,S)，Y_i∈(P,E,r_允许)均为区间变量，

h(*)为相关函数经验密度函数，则相关函数最大似然函数表示为：

则γ,θ,α的最大估计值为进而求得结构强度失效及刚度失效模式的相关系数α(F,G)。

7.根据权利要求1所述的考虑多失效模式的梁结构非概率可靠性求解方法，其特征在于：所述步骤六中利用系统可靠性求解方法求解整个结构的可靠性指标：基于已求得的相关系数α，结合两种失效模式极限状态方程的显示表达，引入区间理论，采用系统串联失效模式的求解方法：P_fs＝P(g₁(x₁,x₂,…,x_n)≤0∪g₂(x₁,x₂,…,x_n)≤0)＝P(g₁(x₁,x₂,…,x_n)≤0)+P(g₂(x₁,x₂,…,x_n)≤0)-P(g₁(x₁,x₂,…,x_n)≤0)∩P(g₂(x₁,x₂,…,x_n)≤0)＝P_f1+P_f2-C(P_f1,P_f2)

其中，P_fs为梁结构整体可靠性指标，P_f1为强度失效模式失效概率，P_f2为刚度失效模式失效概率，C(P_f1,P_f2)表示两种失效模式的Copula函数。