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KR20170018952A - 빠른 비스코어쿠스틱 및 점탄성 풀-파동장 반전 - Google Patents

빠른 비스코어쿠스틱 및 점탄성 풀-파동장 반전 Download PDF

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KR20170018952A
KR20170018952A KR1020177001370A KR20177001370A KR20170018952A KR 20170018952 A KR20170018952 A KR 20170018952A KR 1020177001370 A KR1020177001370 A KR 1020177001370A KR 20177001370 A KR20177001370 A KR 20177001370A KR 20170018952 A KR20170018952 A KR 20170018952A
Authority
KR
South Korea
Prior art keywords
model
accompanying
acoustic
formulas
wave
Prior art date
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Ceased
Application number
KR1020177001370A
Other languages
English (en)
Inventor
후세인 덴리
알렉스 카네브스키
Original Assignee
엑손모빌 업스트림 리서치 캄파니
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by 엑손모빌 업스트림 리서치 캄파니 filed Critical 엑손모빌 업스트림 리서치 캄파니
Publication of KR20170018952A publication Critical patent/KR20170018952A/ko
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Abstract

방법은, 초기 지구물리학적 모델을 획득하는 단계; 비스코어쿠스틱 또는 점탄성 파동식들에 의해 전방 파동장을 모델링하는 단계; 수반 비스코어쿠스틱 또는 수반 점탄성 파동식들로 수반 파동장을 모델링하는 단계로서, 수반 비스코어쿠스틱 파동식들은 압력 및 메모리 변수 둘 모두의 함수인 보조 변수에 기초하거나 수반 점탄성 파동식들은 응력 및 메모리 변수의 조합에 각각 기초하는, 상기 수반 파동장을 모델링하는 단계; 전방 파동장의 모델 및 수반 파동장의 모델의 조합에 기초하여 비용 함수의 기울기를 획득하는 단계; 및 지구물리학적 모델을 갱신하고 갱신된 지구물리학적 모델을 획득하기 위해 비용 함수의 기울기를 사용하는 단계를 포함한다.

Description

빠른 비스코어쿠스틱 및 점탄성 풀-파동장 반전{FAST VISCOACOUSTIC AND VISCOELASTIC FULL-WAVEFIELD INVERSION}
본 출원은 그의 전체가 여기에 참조로서 통합되는 발명의 명칭이 "FAST VISCOACOUSTIC AND VISCOELASTIC FULL-WAVEFIELD INVERSION"인 2014년 6월 17일에 출원된 미국 가특허출원 62/013,455의 이익을 주장한다.
여기에 기술된 예시적인 실시예들은 지구물리학적 탐사에 관한 것이고, 특히, 풀-파동장 반전(FWI) 기술을 사용하여 지진 데이터로부터 비스코어쿠스틱(viscoacoustic) 및/또는 점탄성 파라미터들을 복구하는 것을 포함하고 역시간 구조 보정(RTM)을 사용하여 지표 아래 계면들을 이미징하는 것을 또한 포함하는 지진 데이터 처리에 관한 것이다.
본 섹션은 본 발명의 예시적인 실시예들과 연관될 수 있는 기술 분야의 다수의 양태들을 소개하기 위해 의도된다. 이러한 논의는 본 발명의 특정한 양태들의 양호한 이해를 용이하게 하기 위한 프레임워크를 제공하는 것을 돕는다고 믿어진다. 따라서, 이러한 섹션이 이러한 관점에서 판독되어야 하고, 반드시 종래 기술의 허가들로서 판독되지는 않아야 하는 것이 이해되어야 한다.
시간 도메인에서, 고유한 감쇠(흡수 및 확산)는 스트레인과 완화 함수들 사이의 콘볼루션 연산자들로 공식화된다. 이러한 콘볼루션들은 시간 진행 방법들을 사용하여 대규모 파동 전파 시뮬레이션들에 대해 계산적으로 실행 불가능하다. 시간 도메인 계산들로 실현 가능한 감쇠의 통합은 먼저 데이 앤드 민스터(Day and Minster, 1984)에 의해 파데 근사들(Pade approximants)을 사용하여 달성되었다. 이후, 파데 근사들은 일반화된 맥스웰(GMB) 및 표준 선형 고체(SLD) 모델들과 같은 유리식 형태들로 정교한 비스코어쿠스틱 및 점탄성 유동학적 모델들로 진화되었다. 시간 도메인에서 감쇠 모델링 방법들은 에머리치 및 콘(1987) 및 카시온느 외(1988) 각각에 의해 제공된 GMB 또는 SLS 공식들 중 하나에 기초하고, 완화 메커니즘들에 기초한 유동학적 모델들을 사용한다.
완화 메커니즘은 좁은 주파수 대역에서 점성 효과들을 나타내는 시간 도메인 감쇠 모델의 유닛이다. 다수의 완화 메커니즘들은 원하는 주파수 대역에 걸쳐 감쇠를 모델링하기 위해 조합되어, 추가의 상태 변수들 및 편미분 방정식들(PDE)을 음향 및 탄성 전진파 수식들에 도입한다. 상당한 양의 계산 시간 및 메모리가 전방파 시뮬레이션들 동안 이들 추가의 변수들 및 수식들에 의해 소비되고, 수반 시뮬레이션들 동안 더 큰 정도로 소비된다.
근사 SLS 공식들의 단지 간략화된 버전들이 로버슨 외. 1994, 챠라라 외 2000, 헤스톨름 외 2006, 및 로일 2011과 같이, 감소된 계산 비용에서 주파수-불변 감쇠를 추론하기 위해 FWI로 통합되었다. 이러한 근사들의 정확도는 감소하는 품질 팩터값들(더 강한 감쇠)로 악화될 뿐만 아니라, 이들은 주파수에 따라 변하는 품질 팩터들을 모델링하기 위해 사용될 수 없다. 다른 방식은 SLS 모델의 복잡성을 감소시키기 위해 완화 메커니즘들의 수를 하나 또는 두 개로 한정하는 것으로, 이는 관심 있는 지진 주파수 대역에 걸쳐 목적된 품질 팩터들의 열악한 표현을 초래한다. 예를 들면, 챠라라(Charara 2006)는 기울기들을 계산하는 계산 비용을 감소시키기 위해 SLS 모델에 대하여 단지 두 개의 완화 메커니즘들을 사용하는 것을 제안한다. 그들의 공식은 수반 시뮬레이션들에서 메모리 변수들의 공간 도함수들을 계산할 것을 요구하고, 이는 그들의 근사 SLS 모델에서 사용될 수 있는 완화 메커니즘들의 총 수에서 그들을 제한한다. 또한, 바이(Bai 외, 2012)는 주파수 반전 품질 팩터의 가정에 의해 단일 메커니즘 SLS 모델을 사용하여 FWI에 대한 감쇠 효과들을 보상하기 위한 방법을 제안했다.
단지 SLS 감쇠 모델들이 시간 도메인 비스코어쿠스틱 및 점탄성 FWI 기술들로 통합되었지만, SLS 및 GMB 모델들 둘 모두는 파동들의 전방 비스코어쿠스틱 및 점탄성 모델링을 위해 사용되었다. 예를 들면, 카이저 외(Kaser 외, 2007)는 불연속 갈레르킨 방법에 의해 점탄성 파동들을 모델링하기 위해 GMB를 적용했다.
감쇠의 공통 측정은 품질 팩터이고, 음향 또는 탄성 모듈러스들의 주파수 종속성을 규정하는 크기가 없는 양이다. 품질 팩터 자체는, 특히 탄화수소들과 같은 유체 지지 암석들에 대해, 주파수 종속적일 수 있고, 일반적으로 건조한 암석들에 대해 주파수 불변인 것으로 가정된다(뮐러 외, 2010; 퀸틀, 2012). 따라서, 저류층들과 같은 유체 지지 암석들을 식별하기 위해 품질 팩터의 주파수 종속성을 추론하는 것이 유용하다.
SLS 감쇠 모델은 다음의 관계(칼시온 외, 1988)에 의해 손실 팩터라고도 불리는 품질 팩터(Q)의 수치 역수를 나타낸다:
Figure pct00001
여기서
Q = 품질 팩터,
Figure pct00002
= SLS 모델에서 메커니즘(l)의 스트레인 완화 시간,
Figure pct00003
= SLS 모델에서 메커니즘(l)의 응력 완화 시간,
x = 공간 좌표,
ω = 주파수,
L = SLS 모델에서 사용된 완화 메커니즘들의 수
개념상으로, 품질 팩터(Q)는 매체에 흩어진 에너지에 대해 저장된 에너지의 비를 나타낸다. 스트레인 및 응력 완화 시간들은 주파수 대역에 걸쳐 바람직한 품질 팩터 분포를 최적으로 맞추도록 결정된다.
감쇠 음향 매체 내에서 파동들을 시뮬레이션하기 위한 종래 1차 형태의 선형 비스코어쿠스틱 파동식들은 (자파간도미 외. 2007)는 압력(p), 속도(
Figure pct00004
), 및 메모리 변수들(
Figure pct00005
)에 대한 적절한 초기 및 경계 상태들에 의해 다음과 같다:
Figure pct00006
다음을 주의하라:
Figure pct00007
= 발산 연산자,
κ = 긴장한 체적 관성계수(unrelaxed bulk modulus;
Figure pct00008
)
ρ = 질량 밀도
Figure pct00009
= 속도(3D 공간에서
Figure pct00010
)
p = 압력
Figure pct00011
= 메커니즘(l)에 대한 메모리 변수
sp = 압력 소스,
s v = 속도 소스,
Figure pct00012
및
Figure pct00013
, 여기서 완화 파라미터들(
Figure pct00014
,
Figure pct00015
)은 주어진 품질 팩터 프로파일에 대한 수식(1)에 의해 결정될 수 있다.
연속적인 스칼라 변수들은 이탤릭체 문자들로 표시되고 벡터 및 행렬들은 본 명세서 전체에 걸쳐 굵은 비-이탤릭체 문자들로 표시된다는 것을 주의하라.
파라미터들에 관하여 목적 함수의 기울기들의 계산에 기초한 FWI 방법들은 수반 방법들을 사용함으로써 종종 효율적으로 수행되고, 이는 직접 민감도 분석들, 유한 차분들 또는 복소 변수 방법들과 같은 다른 관련 방법들을 능가하는 것이 증명되었다. 테브난 외, 2008에서 수반 방법들에 관해 상세한 논의를 발견할 수 있다.
종래의 비스코어쿠스틱 시스템의 연속적인 수반 방법(수식들(2))은 다음과 같다:
Figure pct00016
여기서,
Figure pct00017
= 수반 압력,
Figure pct00018
= 수반 속도,
Figure pct00019
= 메커니즘(l)에 대한 수반 메모리 변수이고,
Figure pct00020
및
Figure pct00021
는 압력 및 속도 각각에 대한 목적 함수(
Figure pct00022
)의 도함수들이다. 압력 및 속도에 대한 목적 함수 및 그의 도함수가 비스코어쿠스틱 및 점탄성 풀 파동장 반전 섹션에서 명확하게 규정될 것이지만,
Figure pct00023
및
Figure pct00024
는 수반 수식들에 대한 소스들로서 단순히 고려될 수 있다.
수반 수식들의 미분이 부분 적분법을 사용하는 것을 포함하고, 이는 수반 수식들에 공간 및 시간 경계항들 모두를 도입하는 한다는 것을 주의하라(이는 공간 및 시간 경계들 각각에서 평가된다). 이들 수반 공간 경계항들은 수식들(3)에 포함되지 않지만, 수반 변수들에 대해 고유한 해들을 정확하게 계산하기 위해 (즉, 코드에) 포함될 필요가 있고, 시간 경계항들은 0이고 따라서 제외된다.
수반 수식들(수식들(3))에서 메모리 변수들(
Figure pct00025
)의 공간 도함수들은 상당량의 계산 비용을 초래한다. 도 5는 2차 내지 제 12차 (공간적으로) 정밀한 유한-차분(FD) 시간 도메인 방법들에 대해 전방 계산들에 관한 수반 계산들의 비용을 도시한다. 상대 비용은 플롭들의 수를 비교하는 것에 기초된다. 세 개의 완화 메커니즘들 및 8차 유한 차분법에 대하여, 수반 수식들의 해를 구하는 비용은 전방 수식들(수식들(2))의 해를 구하는 비용보다 2.25배 더 비싸다. 유한 차분법의 공간 차수 및 완화 메커니즘들의 수가 증가함에 따라, 수반 수식들의 해를 구하는 상대 비용이 증가한다는 것을 또한 주의하라. 더욱이, 대규모 분산 메모리 병렬 처리 계산들에 대하여, 수반 수식의 해를 구하는 비용은 메모리 변수들의 추가의 계산 때문에 증가할 것이라는 것이 예상된다.
선형 비스코어쿠스틱 수식들은 다음의 선형 점탄성 수식들로 확장될 수 있다:
Figure pct00026
여기서 3D 데카르트 좌표계에서,
Figure pct00027
= 응력,
Figure pct00028
,
Figure pct00029
= 메커니즘(l)에 대한 메모리 변수,
Figure pct00030
,
Figure pct00031
이는 라메 상수들(λ, μ)에 관해 등방성 긴장 시스템에 대한 탄성 구성 관계이고,
Figure pct00032
이는 메모리 시스템에 대한 구성 관계이고(SLS 공식
Figure pct00033
에 대하여,
Figure pct00034
및
Figure pct00035
는 수식(1)을 사용하여 압축파 및 왜파 품질 팩터들(QP 및 QS)로부터 계산되고),
Figure pct00036
= 스트레인 연산자,
Figure pct00037
이다.
종래의 점탄성 시스템의 연속 수반 수식(수식들(4))은
Figure pct00038
여기서 3D 데카르트 좌표계에서,
Figure pct00039
= 수반 응력,
Figure pct00040
,
Figure pct00041
= 메커니즘(l)에 대한 수반 메모리 필드,
Figure pct00042
이고,
Figure pct00043
및
Figure pct00044
은 응력 및 속도 각각에 대해 목적 함수(
Figure pct00045
)의 도함수들이다.
공간 경계항들은 수식들(4)에 포함되지 않는다는 것을 주의하라, 시간 경계항들은 0이고 따라서 제외된다.
비스코어쿠스틱 경우에 관하여, 점탄성 경우에 대한 수반 수식들은 또한 메모리 변수들의 공간 도함수들을 포함하고, 이는 점탄성 FWI에 대해 큰 계산 비용을 추가할 것이다.
비스코어쿠스틱 및 점탄성 풀 파동장 반전
FWI는 측정 파동장과 계산된 파동장들 사이의 불일치의 표준을 반복하여 최소화하는 편미분 수식 제한된 최적화 방법이다. 지진 FWI는 다수의 반복들을 포함하고, 하나의 반복은 다음의 계산들을 포함할 수 있다: (1) 전방 수식들의 해, (2) 수반 수식들의 해, 및 (3) 비용 함수의 기울기를 산출하기 위해 이들 전방 및 수반 수식 해들의 콘벌루션들. 가우스-뉴튼과 같은 2차 최적화 방법들에 대하여, (4) 섭동된 전방 수식들의 해가 또한 요구된다는 것을 주의하라. 이러한 경우에 대해 더 견고한 수학적 정당화는 전체 내용이 여기에 참조로서 통합된 미국 특허 공개 20130238246에서 발견될 수 있다.
비스코어쿠스틱 및 점탄성 지진 FWI에 대하여, 각각의 시뮬레이션의 비용은 품질 팩터의 주파수 종속 프로파일을 정확하게 모델링하기 위해 요구된 완화 메커니즘들이 더 많은 변수들 및 수식들을 도입한다는 사실 때문에 가중된다. 또한, 계산되어야 하는 시뮬레이션들의 수는 반전에서 반복들의 총 수에 비례하고, 일반적으로 수백 내지 수천의 수이다. 그럼에도 불구하고, 이러한 방법을 사용하여 지표 아래의 감쇠 속성들을 추론하는 이점은 상기 비용을 능가할 것이 예상되고, 더 빠른 턴어라운드 시간들을 초래하는 알고리즘들 및 작업량들의 발전은 사용자들이 더 큰 규모의 문제들을 더 빠르게 해결하게 하는 필드 규모 데이터에 대해 이러한 기술을 실현 가능하게 하는 것을 향한 주요 단계이다.
지구물리학에서 사용된 공통의 반복 반전 방법은 비용 함수 최적화이다. 비용 함수 최적화는 모델(θ)에 관하여 비용 함수(
Figure pct00046
)의 값의 반복적인 최소화 또는 최대화를 포함한다. 목적 함수라고도 불리는 비용 함수는 시뮬레이션된 데이터와 관찰된 데이터 사이의 불일치의 측정치이다. 시뮬레이션들(시뮬레이션된 데이터)는 유한 차분법 또는 유한 요소법과 같은 적절한 수치 계산법에 의해 매체에서 소스 신호의 전파를 통제하는 물리적 현상들을 먼저 개별화하고 현재 지구물리학적 속성들 모델을 사용하는 컴퓨터에서 수치 계산 해들을 계산함으로써 행해진다.
다음은 FWI에 대한 국부적 비용 함수 최적화 절차를 요약한다: (1) 시작 모델을 선택한다; (2) 검색 방향(S(θ))을 계산한다; 및 (3) 검색 방향으로의 모델의 섭동인 갱신된 모델을 검색한다.
비용 함수 최적화 절차는 또 다른 검색 방향을 찾기 위해 시작 모델로서 새로운 갱신된 모델을 사용함으로써 반복되고, 이는 이후 관찰된 데이터를 더 양호하게 설명하기 위해 모델을 섭동시키기 위해 사용될 것이다. 프로세스는 관찰된 데이터를 만족스럽게 설명하는 갱신된 모델이 발견될 때까지 계속한다. 공통적으로 사용된 국부적 비용 함수 최적화 방법들은 기울기 검색, 켤레 기울기들, 의사-뉴튼, 가우스-뉴튼, 및 뉴튼 방법을 포함한다.
음향 근사에서 지진 데이터의 국부적 비용 함수 최적화는 공통 지구물리학적 반전 태스크이고, 일반적으로 지구물리학적 반전의 다른 형태들의 예이다. 음향 근사에서 지진 데이터를 반전시킬 때, 비용 함수는 다음과 같이 기재될 수 있다:
Figure pct00047
여기서
Figure pct00048
= 비용 함수,
Figure pct00049
= N 개의 파라미터들의 벡터, 지표 아래 모델을 기술하는 (θ1, θ2, ..., θN),
g = 수량 인덱스,
Figure pct00050
= 공간 좌표들의 델타 함수인 점 소스에 대하여 공간 좌표들 및 시간의 함수인 수량(g)에 대한 소스 함수,
Figure pct00051
= 수량들의 수,
Figure pct00052
= 수량 내 수신기 인덱스,
Figure pct00053
= 수량에서 수신기들의 수,
Figure pct00054
= 트레이스 내 시간 샘플 인덱스,
Figure pct00055
= 시간 샘플들의 수,
Figure pct00056
= 표준 함수(예를 들면, 최소 제곱 함수(
Figure pct00057
)에 대하여, 최소화 함수),
Figure pct00058
= 모델(
Figure pct00059
)로부터 계산된 지진 데이터,
Figure pct00060
= 측정된 지진 데이터(압력, 응력, 속도들 및/또는 가속).
공통 기하학적 구조를 공유하는 센서들의 수로부터 수량들, 데이터는 지진 전방 모델링 프로그램의 하나의 런에서 시뮬레이션될 수 있는 임의의 형태의 수량(공통 중간점, 공통 소스, 공통 오프셋, 공통 수신기, 등)일 수 있다. 샷들이 점 소스들보다 더 일반적일 수 있지만, 일반적으로 수량들은 지진 샷(seismic shot)에 대응한다. 점 소스들에 대하여, 수량 인덱스(g)는 개별적인 점 소스들의 위치에 대응한다. 이러한 일반화된 소스 데이터(
Figure pct00061
)는 필드에서 획득될 수 있거나, 점 소스들을 사용하여 획득된 데이터로부터 합성될 수 있다. 다른 한편으로 계산된 데이터(
Figure pct00062
)는 보통 전방 모델링할 때 일반화된 소스 함수를 사용함으로써 직접 계산될 수 있다.
FWI는
Figure pct00063
가 최소가 되도록 개별화된 모델(
Figure pct00064
)을 갱신하기를 시도한다. 이는 다음과 같이 주어진 모델(
Figure pct00065
)을 갱신하는 국부적 비용 함수 최적화에 의해 성취될 수 있다:
Figure pct00066
i는 반복수이고,
Figure pct00067
는 모델 갱신의 스칼라 단차 크기이고,
Figure pct00068
는 검색 방향이다. 급강하에 대하여,
Figure pct00069
, 이는 모델 파라미터들에 대해 취해진 불일치 함수의 음의 기울기이다. 이러한 경우에, 모델 섭동들, 또는 모델이 갱신되게 하는 값들은 단차 길이(
Figure pct00070
)에 의해 목적 함수의 기울기의 곱셈으로 계산되고, 이는 반복적으로 계산되어야 한다. 2차 최적화 기술들에 대하여, 기울기는 헤시안에 의해 크기 조정된다(모델 파라미터들에 대해 목적 함수의 2차 도함수들).
Figure pct00071
의 계산은 N 개의 파라미터들의 각각에 대해
Figure pct00072
의 도함수의 계산을 요구한다. N은 일반적으로 지구물리학적 문제들에서 매우 크고(백만보다 크다), 이러한 계산은 각각의 개별적인 모델 파라미터에 대해 수행되어야 하는 경우 극도로 시간 소모적일 수 있다. 다행히, 수반 방법은 모든 모델 파라미터들에 대해 이러한 계산을 한번에 효율적으로 수행하기 위해 사용될 수 있다(타란톨라, 1984). 수반 방법을 사용하는 기울기들의 계산이 다른 방법들에 비해 효율적이지만, 비스코어쿠스틱 및 점탄성 FWI에 대해 여전히 매우 비싸다.
시간 도메인에서 종래의 비스코어쿠스틱 및 점탄성 풀 파형 반전 방법들은 시간 전진하는 수반 수식들에 대해 메모리 변수들의 기울기를 계산한다. 감쇠를 고려하는 지구 모델들은 주파수 및 시간 도메인들 모두로 나타내진다(어신 및 토브루드, 2002). 주파수 도메인 방법들의 주요 포커스는 인과 관계 원리들 하에서 복소수 속성들을 사용하여 감쇠와 매질 속도들 사이의 관계를 확립하는 것이고, 이는 그들이 FWI에 대해 직접 적용하기에 간단하게 만든다(학 및 뮐러, 2010).
본 발명의 목적은 풀-파동장 반전(FWI) 기술을 사용하여 지진 데이터로부터 비스코어쿠스틱 및/또는 점탄성 파라미터들을 복구하는 것을 포함하고 역시간 구조 보정(RTM)을 사용하여 지표 아래 계면들을 이미징하는 것을 또한 포함하는 지진 데이터 처리를 위한 방법을 제공하는 것이다.
방법은 초기 지구물리학적 모델을 획득하는 단계; 비스코어쿠스틱 또는 점탄성 파동식들로 전방 파동장을 모델링하는 단계; 수반 비스코어쿠스틱 또는 수반 점탄성 파동식들로 수반 파동장을 모델링하는 단계로서, 각각, 수반 비스코어쿠스틱 파동식들은 압력의 함수인 보조 변수 및 메모리 변수에 기초하거나, 수반 점탄성 파동식들은 응력 및 메모리 변수의 조합에 기초하는, 상기 수반 파동장을 모델링하는 단계; 전방 파동장의 모델 및 수반 파동장의 모델의 조합에 기초한 비용 함수의 기울기를 획득하는 단계; 및 초기 지구물리학적 모델을 갱신하고 갱신된 지구물리학적 모델을 획득하기 위해 비용 함수의 기울기를 사용하는 단계를 포함한다.
본 개시는 다수의 변형들 및 대안적인 형태들에 대해 허용하고, 그의 특정한 예시적인 실시예들은 도면들에 도시되었고 여기에 상세히 기술된다. 그러나, 특정한 예시적인 실시예의 여기서의 기술은 여기에 개시된 특정한 형태들에 대한 개시를 한정하도록 의도되지 않고, 반대로, 본 개시는 첨부된 청구항들에 규정되는 모든 변형들 및 동등물들을 포함하는 것이라는 것이 이해되어야 한다. 도면들은 반드시 비례적이지는 않고, 대신에 본 발명의 예시적인 실시예들의 원리들을 명확하게 예시하는 것에 강조가 놓일 수 있다는 것이 또한 이해되어야 한다.
예시적인 실시예들이 이하에 기술된다. 그러나, 다음의 기술이 특정한 실시예에 특정되는 만큼, 이는 단지 예시적인 목적들에 대해서만 의도되고 예시적인 실시예들의 기술을 단순히 제공하는 것이다. 따라서, 본 발명은 이하에 기술된 특정한 실시예들로 제한되지 않고, 오히려 첨부된 청구항들의 진실된 정신 및 범위 내에 속하는 모든 대안들, 변형들, 및 동등물들을 포함한다.
본 기술적인 진보의 일 예시적인 실시예는 비스코어쿠스틱 또는 점탄성 파동 전파를 획득하는 풀-파동장 반전(FWI) 또는 역시간 구조 보정(RTM)을 수행하기 위한 방법이다. 방법은 제공된 수의 완화 메커니즘들에 대한 감쇠를 최적으로 나타내는 다수의 완화 유동학적 모델을 사용하여 시간 도메인에서 감쇠를 포함한다. 이러한 감쇠 모델은 상수를 나타내거나 주어진 지진 주파수 대역폭에 걸쳐 품질 팩터의 주파수 종속성을 변경하는 것에 대해 융통성이 있다. 방법은 비스코어쿠스틱 경우에 대하여 압력 및 메모리 변수들의 조합 또는 점탄성 경우에 대한 응력 및 메모리 변수들의 조합인 새로운 보조 상태 변수들을 사용하여 비스코어쿠스틱 및/또는 점탄성 파동식들을 공식화한다. 이들 공식화는 감소된 계산 복잡성을 갖는 새로운 파동식 시스템들을 초래한다.
비스코어쿠스틱 및 점탄성 FWI 프레임워크의 일 예시적인 실시예는 다음과 같이 주파수 도메인에서 손실 팩터를 규정하는 감쇠를 설명하기 위해 GMB 유동학적 모델에 의존한다:
Figure pct00073
여기서
Figure pct00074
= 메커니즘(l)에 대한 완화 주파수(
Figure pct00075
),
Figure pct00076
= 메커니즘에 대해 완화 모듈러스들 비(
Figure pct00077
).
완화 주파수들은 일반적으로 주파수 대역에 걸쳐 기하급수적으로 변하도록 선택되고 공간적으로 불변이다(로버슨 외, 1994). 완화 모듈러스들은 다음의 방식에 의해 결정된다. 수식들의 과도하게 결정된 시스템은 소스의 주파수 대역
Figure pct00078
에 걸쳐 수식(8)을 개별화함으로써 형성되고, n은 대역에 걸쳐 이산된 주파수들의 수이고 메모리 변수들(L)의 수보다 크고, 일반적으로 거의 주파수 불변 품질 팩터에 대해 2L+1이고, 주파수 가변 품질 팩터에 대해 더 크다. 주파수들은 일반적으로 계산 효율을 위해 주파수 대역에 걸쳐 기하급수적으로 개별화된다. 수식들의 이러한 과도하게 결정된 시스템은 좌표 x에서 이산된 품질 팩터
Figure pct00079
에 대하여:
Figure pct00080
여기서
Figure pct00081
이산된 품질-팩터 관계(7)이고
Figure pct00082
는 L×n의 치수들을 갖는다.
Figure pct00083
는 반전 파라미터일 수 있다. 그러나, 품질 팩터(Q)가 주파수 대역에 걸쳐 일정한 경우, 이는
Figure pct00084
대신에 반전 파라미터로서 직접적으로 생각될 수 있다. 이러한 경우들에서, 품질 팩터(Q)에 대한 목적 함수의 도함수는 체인 규칙을 사용하여 획득될 수 있다
Figure pct00085
여기서, Q에 대한 완화 모듈러스들의 도함수,
Figure pct00086
가 다음의 해를 구함으로써 획득된다:
Figure pct00087
본 발명은 비스코어쿠스틱 또는 점탄성 파동 전파를 획득하는 풀-파동장 반전(FWI) 또는 역시간 구조 보정(RTM)을 수행하기 위한 방법을 제공한다.
도 1은 주파수 불변(Q = 30)(2.5 ㎐ 내지 40 ㎐ 주파수 대역)에 대해 최적화된 일반화된 맥스웰 물체 모델에 대한 1, 2, 3, 및 5 완화 메커니즘들에 기초한 예시적인 품질-팩터 모델들을 도시하는 도면.
도 2는 도 1의 일반화된 맥스웰 물체 모델에 대한 1, 2, 3, 및 5 완화 메커니즘들에 의해 계산된 예시적인 속도 분산 곡선들을 도시하는 도면.
도 3은 2.5 ㎐ 내지 40 ㎐의 대역에 걸쳐 선형으로 변하는 품질 팩터에 대해 최적화된 일반화된 맥스웰 물체 모델에 대한 1, 2, 3, 및 5 완화 메커니즘들에 기초한 예시적인 품질-팩터 모델들을 도시하는 도면.
도 4는 도 3의 일반화된 맥스웰 물체 모델에 대한 1, 2, 3, 및 5 완화 메커니즘들에 의해 계산된 예시적인 속도 분산 곡선들을 도시하는 도면.
도 5는 L = 3 및 L = 5 완화 메커니즘들에 대하여 종래의 3D 비스코어쿠스틱에 대한 전방에 관하여 수반의 비용(부동소수점 연산들-플롭들에 의해)의 비제한적인 예를 도시하는 도면.
도 6은 비스코어쿠스틱 풀-파동장 반전에 대한 일 예시적인 방법을 도시하는 도면.
도 7은 점탄성 풀-파동장 반전에 대한 일 예시적인 방법을 도시하는 도면.
도 8은 3 개의 완화 메커니즘 감쇠 모델에 의해 종래의 음향 전방 수식들의 해를 구하기 위한 비용에 관하여 본 기술적 진보에 따라 3-D 비스코어쿠스틱 전방 및 수반 수식들의 해를 구하기 위한 비용의 비제한적인 예를 도시하는 도면.
도 9는 L = 2, L = 3, 및 L = 5 완화 메커니즘 감쇠 모델들에 대해 종래의 수반에 대해 본 기술적인 진보에 따라 3-D 비스코어쿠스틱 수반에 대해 속도 향상의 비제한적인 예를 도시하는 도면.
도 10은 말모우시 속도 모델(스칼라 유닛은 ㎞/s이다)의 일 예를 도시하는 도면.
도 11은 품질-팩터 모델(스칼라 유닛은 품질 팩터의 역수에 대한 것이다)의 일 예를 도시하는 도면.
도 12는 반전된 속도 모델(스칼라 유닛은 ㎞/s이다)의 일 예를 도시하는 도면.
도 13은 반전된 품질-팩터 모델(스칼라 유닛은 품질 팩터의 역수에 대한 것이다)의 일 예를 도시하는 도면.
도 14는 반복들의 수에 의해 목적 함수(데이터 불일치의 최소 제곱 평균)의 변화의 일 예를 도시하는 도면.
도 15는 본 기술적인 진보를 구현하는 방법들을 실행할 수 있는 컴퓨터의 일 예를 도시하는 도면.
도 1 및 도 2는 2.5 ㎐ 내지 40 ㎐의 주파수 대역에 걸쳐 30의 주파수 불변 품질 팩터(타깃 Q)를 나타내도록 설계되는 GMB 모델들의 1, 2, 3, 및 5 완화 메커니즘들에 의해 획득된 품질 팩터 및 속도 분산 곡선들의 예들을 도시한다. 이들 감쇠 모델들의 파라미터들은 수식(9)을 사용하여 계산된다. 이들 도면들은 모델링된 감쇠 및 분산의 정확성이 완화 메커니즘들의 수에 의해 증가한다는 것을 보여준다. 도 3 및 도 4는 선형으로 변하는 품질 팩터(주파수 대역에 걸쳐)에 대한 이들 모델들의 품질-팩터 및 분산 응답들의 일 예를 도시하고, 다시 한번 모델링된 감쇠 및 분산의 정확성은 완화 메커니즘의 수에 의해 증가한다는 것을 보여준다.
본 기술적 진보의 개선된 효과를 입증하기 위해 연속적인 형태(종종 연속적인 수반 방법이라고 불림)로 비스코어쿠스틱 및 점탄성 수반 수식들을 도출한다. 그러나, 전방 수식들을 먼저 개별화할 수 있고, 이후 개별화된 수식들의 수반 수식들을 도출하고(베츠 외, 2005), 이는 이산 수반 방법이라고 불린다. 본 애플리케이션에 기술된 본 기술적 진보는 FWI 수식들의 두 개의 형태들의 도함수들에 적용가능하다.
본 기술적인 진보의 일 실시예는 비스코어쿠스틱 수식들의 새로운 형태에 기초하는 개선된 비스코어쿠스틱 FWI 방법을 제공한다. 새로운 보조 변수는 다음으로 규정되고
Figure pct00088
수식(12)는 수식들(2)의 선형 변환을 수행하기 위해 사용된다. 결과의 비스코어쿠스틱 파동식들은
Figure pct00089
이고,
Figure pct00090
은 명확하게 규정되는 새로운 변수이다. 메모리 수식들에서 사용된 완화 모듈러스 비들은 수식(9)으로부터 획득된다.
수식들(13)의 수반은
Figure pct00091
공간 경계항들은 수식들(14)에 포함되지 않는다는 것을 주의하라. 시간 경계항들은 0이고 따라서 제외된다.
압력 및 메모리 변수들의 조합인 도입된 보조 변수(수식(12))는 보조 변수를 채용하지 않는 대안적인 수식들에 비해 수반 파동장 수식들의 해를 구하는 비용을 낮추기 위해 메모리 변수를 교체한다.
종래의 비스코어쿠스틱 수반(수식들(3))에 반대로, 메모리 변수들의 공간 도함수들은 수반 수식의 해를 구하기 위한 계산 비용을 감소시키는 수반 수식들(14)에 나타나지 않는다. 본 기술적인 진보를 채용하는 예시적인 방법에서, 수반 수식(수식들(14))의 해를 구하는 비용은 전방 수식들(수식들(13))의 해를 구하는 비용과 근사적으로 동일하다. 도 8은 전방 음향 수식들에 대한 종래 및 새로운 전방 및 수반 비스코어쿠스틱 수식들의 해를 구할 때 비용을 도시한다(플롭들의 수를 비교하는 것이 기초하여). 도 8에서, 실선들은 종래의 수식들의 해를 구하는 비용을 도시하고, 점선들은 본 기술적인 진보를 채용하는 수식들의 해를 구하는 비용을 도시한다. 새로운 전방 해결자의 비용이 실제로 작은 마진만큼 증가하지만(종래의 전방 해결자에 대한), 새로운 수반 수식 해결자의 비용은 최신 수반 해결자에 비해 감소하고, 그러므로 전체 비용은 감소한다. 예를 들면, 8차 FD 시간 도메인 방법 및 세 개의 완화 메커니즘들을 사용하는 유동학적 모델에 대하여, 상대적인 수반 비용은 최신 기술 방법에 대해 2.68이고, 새로운 방법에 대해 1.24로 감소한다. 또한, 최신 기술에 대한 본 진보의 수반 속도 향상은 2, 3, 및 5 완화 메커니즘들에 대해 도 9에서 도시된다.
반전 파라미터들에 대한 목적 함수의 연속적인 기울기들은
Figure pct00092
따라서,
Figure pct00093
2차 최적화 방법에 대해 요구된 섭동 전방 수식들은
Figure pct00094
여기서
Figure pct00095
= 섭동 압력
Figure pct00096
= 섭동 속도
Figure pct00097
= 메커니즘(l)에 대한 섭동 메모리 변수.
동일한 방식은 점탄성 파동식들로 확장될 수 있다. 계산적인 절약들은, 3D 점탄성 수식들에 대한 메모리 변수들의 총수가 비스코어쿠스틱 경우에 대한 것보다 6배 더 클 것이기 때문에, 제공된 수의 완화 메커니즘들에 대해 더 클 것이다. 새로운 보조 변수들은
Figure pct00098
로 규정하고, 새로운 보조 변수들에 의해 수식들(4)의 선형 변환을 수행한다. 이러한 변환은 수반 수식에서 메모리 변수들의 공간 도함수들을 제거하고, 수반 시스템의 해를 구하기 위해 계산 비용을 감소시킨다. 결과의 점탄성 파동식들은
Figure pct00099
여기서
Figure pct00100
은 명확성을 위해 규정되는 새로운 변수이다. 메모리 수식들에서 사용된 완화 모듈러스 비들은 수식(9)으로부터 획득된다.
수식들(18)의 수반 수식은
Figure pct00101
여기서
Figure pct00102
= 메커니즘(l)에 대한 수반 메모리 필드,
Figure pct00103
Figure pct00104
= 메커니즘(l)에 대한 명확성을 위해 규정된 변수,
Figure pct00105
공간 경계항들은 수식들(19)에 포함되지 않는다는 것을 주의하라. 시간 경계항들은 0이고 따라서 제외된다.
본 출원에서 보여지는 1차 시간 도함수 공식들에 반하여 음향 또는 탄성 파동식들의 대안적인 계산적으로 효율적인 2차 시간 도함수 공식들을 도출하는 것은 간단하다. 음향 경우에 대하여, (13)에서 제 1 (압력) 및 제 3 (메모리) 수식들 모두의 시간 도함수를 취하고 제 2 (속도) 수식을 사용하여
Figure pct00106
항을 제거함으로써 음향 수식들의 2차 형태를 도출할 수 있다. 탄성 경우에 대하여, (18)에서 제 1 (응력) 및 제 3 (메모리) 수식들의 시간 도함수를 취하고 제 2 (속도) 수식들을 사용하여
Figure pct00107
항을 제거함으로써 탄성 수식들의 2차 형태를 도출할 수 있다. 메모리 변수들의 공간 도함수들은 1차 시스템들에 대해 입증되는 이러한 2차 시스템들의 수반 수식들에 나타내지지 않을 것이다(수식들(14, 19)).
예시
도 6은 수식들((13) 내지 (16))을 사용하여 비스코어쿠스틱 FWI 방법에 대한 일 예시적인 방법을 도시한다. 단계(601)에서, 지구물리학적 모델이 가정된다. 지구물리학적 모델은 하나 이상의 지표 아래 속성들을 영역에서 위치의 함수로서 제공한다. 이러한 예에 대하여, 수 개의 낮은-Q 예외들, 중간 Q 값들의 층들, 및 평탄한 배경(도 11)을 갖는 말모우시 속도 모델(도 10) 및 품질 팩터 모델이 사용된다. 속도 및 품질-팩터 모델들은 구조적으로 비상관적이다.
단계(603)에서, 감쇠 파라미터들(α)은 수식들(9)을 사용하여 계산된다. GMB 모델은 가정된 Q 주파수 종속성에 대해 사용될 수 있다.
단계들(605a, 605b)에서, 전방 파동장 모델 수식들(13) 및 수반 모델 수식들(14)이 해가 구해진다. 단계(605b)는 수반 파동장의 모델링에서 측정된 데이터를 이용할 수 있다.
단계(607)에서, 비용 함수의 기울기는 반전 파라미터들(14)에 대해 목적 함수의 기울기들에 도달하기 위해 수식들(13, 14)의 콘볼루션으로부터 획득된다. 단계(607)는 비용 함수의 기울기를 획득할 때 측정된 데이터를 이용할 수 있다.
단계(609)에서, 비용 함수의 기울기(주어진 방향으로 비용 함수의 변경의 레이트를 제공하는)는 이후 비용 함수를 최소화하기 위해 지구물리학적 모델을 갱신하기 위해 사용된다. 단계(609)는 관찰된 데이터를 더 잘 설명하는 기울기 방향으로 초기 지구물리학적 속성 모델의 섭동인 갱신된 지구물리학적 속성 모델에 대해 검색하는 단계를 포함할 수 있다. 도 6의 반복 프로세스는 측정된 데이터와 갱신된 모델 사이의 미리 결정된 수렴이 획득될 때까지 반복될 수 있다. 도 14는 목적 함수의 데이터 불일치(데이터 불일치의 최소 제곱 평균)가 반복들의 수에 의해 어떻게 감소하는지를 보여준다.
16㎞ 최대 오프셋 및 10초의 기록된 (합성) 데이터, 40 개의 소스들, 100개의 수신기들, 및 10㎐ 리커 파형 소스를 가정하면, 속도 및 Q 모델들에 대해 반전된 또는 갱신된 결과들은 도 12 및 도 13 각각에 도시되고, 이는 본 기술적인 진보가 크게 감소된 계산 비용에서 두 개의 파라미터들(속도 및 Q)에 대해 반전시킬 수 있는 것을 입증한다.
갱신된 가정된 모델이 수렴할 때, 프로세스는 단계(611)로 진행한다. 단계(611)에서, 갱신된 지표 아래 모델은 탄화수소를 관리하기 위해 사용된다. 여기에 사용된 바와 같이, 탄화수소 관리는 탄화수소 추출, 탄화수소 생성, 탄화수소 조사, 잠재적인 탄화수소 자원들을 식별하는 것, 관정 위치들을 식별하는 것, 관정 주입 및 추출 레이트들을 결정하는 것, 저류층 연결을 식별하는 것, 탄화수소 자원들을 획득, 배치, 및/또는 폐기하는 것, 및 사전 탄화수소 관리 결정들, 및 임의의 다른 탄화수소 관련 행위들 또는 활동들을 리뷰하는 것을 포함한다.
도 7은 수식들((18), (19))을 사용하는 점탄성 FWI 방법에 대하여 일 예시적인 방법을 도시한다. 도 7의 방법(단계들(701 내지 711))은 수식들이 변경되는 것을 제외하고 도 6의 방법(단계들(601 내지 611))과 유사하다.
도 15는 본 지구물리학적 반전 기술들을 실행하기 위해 사용될 수 있는 컴퓨터 시스템(2400)의 블록도이다. 중앙 처리 장치(CPU;2402)는 시스템 버스(2404)에 결합된다. CPU(2402)의 아키텍처들의 다른 형태들(또는 예시적인 시스템(2400)의 다른 구성요소들)이 CPU(2402)가 여기에 기술되는 동작들을 지원하는 한 사용될 수 있지만, CPU(2402)는 임의의 범용 CPU일 수 있다. 당업자들은, 단지 하나의 CPU(2402)가 도 15에 도시되지만, 추가의 CPU들이 제안될 수 있다는 것을 이해할 것이다. 더욱이, 컴퓨터 시스템(2400)은 하이브리드 병렬 CPU/GPU 시스템을 포함할 수 있는 네트워킹된 멀티-프로세서 컴퓨터 시스템을 포함할 수 있다. CPU(402)는 여기에 기술된 다수의 교시들에 따라 다양한 논리적 명령들을 실행할 수 있다. 예를 들면, CPU(2402)는 기술된 동작 플로우에 따라 처리를 수행하기 위한 머신-레벨 명령들을 실행할 수 있다.
컴퓨터 시스템(2400)은 또한 비일시적, 컴퓨터 판독가능한 매체와 같은 컴퓨터 구성 요소들을 포함할 수 있다. 컴퓨터 판독가능한 매체의 예시들은 랜덤 액세스 메모리(RAM; 2406)를 포함하고, 이는 SRAM, DRAM, SDRAM, 등일 수 있다. 컴퓨터 시스템(2400)은 또한 판독 전용 메모리(ROM;2408)와 같은 추가의 비일시적, 컴퓨터-판독 가능한 매체를 포함할 수 있고, 이는 PROM, EPROM, EEPROM, 등일 수 있다. RAM(2406) 및 ROM(2408)은 본 기술에 알려진 바와 같이 사용자 및 시스템 데이터 및 프로그램들을 보유한다. 컴퓨터 시스템(2400)은 또한 입력/출력(I/O) 어댑터(2410), 통신 어댑터(2422), 사용자 인터페이스 어댑터(2424), 및 디스플레이 어댑터(2418)를 포함할 수 있다.
I/O 어댑터(2410)는 예를 들면, 하드 드라이브, 컴팩트 디스크(CD) 드라이브, 플로피 디스크 드라이브, 테이프 드라이브, 등을 포함하는 저장 디바이스(들)(2412)와 같은 추가의 비일시적, 컴퓨터 판독 가능한 매체를 컴퓨터 시스템(2400)에 연결할 수 있다. RAM(2406)이 본 기술들의 동작들에 대해 데이터를 저장하는 것과 연관된 메모리 요건들에 대해 충분하지 않을 때, 저장 디바이스(들)가 사용될 수 있다. 컴퓨터 시스템(2400)의 데이터 저장은 여기에 개시된 사용되거나 생성된 정보 및/또는 다른 데이터를 저장하기 위해 사용될 수 있다. 예를 들면, 저장 디바이스(들)(2412)는 본 기술들에 따라 구성 정보 또는 추가의 플러그-인들을 저장하기 위해 사용될 수 있다. 또한, 사용자 인터페이스 어댑터(2424)는 키보드(2428), 포인팅 디바이스(2426), 및/또는 출력 디바이스들과 같은 사용자 입력 디바이스들을 컴퓨터 시스템(400)에 결합한다. 디스플레이 어댑터(2418)는 디스플레이 디바이스(2420)상의 디스플레이를 예를 들면, 이용가능한 플러그-인들에 관해 정보를 사용자에게 나타내도록 제어하기 위해 CPU(2402)에 의해 구동된다.
시스템(2400)의 아키텍처는 바람직하게 변경될 수 있다. 예를 들면, 임의의 적절한 프로세서-기반 디바이스가 개인용 컴퓨터들, 랩탑 컴퓨터들, 컴퓨터 워크스테이션들, 및 멀티-프로세서 서버들을 제한 없이 포함하여 사용될 수 있다. 더욱이, 본 기술적인 진보는 주문형 집적 회로들(ASICs) 또는 대규모 집적(VLSI) 회로들에 대해 수행될 수 있다. 사실상, 당업자들은 본 기술적인 진보에 따라 논리 동작들을 실행할 수 있는 임의의 수의 적절한 하드웨어 구조들을 사용할 수 있다. 용어 "처리 회로"는 하드웨어 프로세서(상기에 기재된 하드웨어 디바이스들에서 발견된 것들과 같은), ASICs, 및 VLSI 회로들을 포함한다. 컴퓨터 시스템(2400)에 대한 입력 데이터는 다수의 플러그-인들 및 라이브러리 파일들을 포함할 수 있다. 입력 데이터는 구성 정보를 추가로 포함할 수 있다.
본 기술들은 다수의 변형들 및 대안적인 형태들을 허용할 수 있고, 상기에 논의된 예시들은 예로서만 도시되었다. 그러나, 본 기술들은 여기에 개시된 특정한 예시들로 제한되도록 의도되지 않는다. 사실상, 본 기술들은 첨부된 청구항들의 정신 및 범위내에 속하는 모든 대안물들, 변형들, 및 동등물들을 포함한다.
참조들
다음 문서들은 그들의 전체가 참조로 각각 통합된다:
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Claims (14)

  1. 방법에 있어서,
    컴퓨터에 의해 초기 지구물리학적 모델을 획득하는 단계,
    상기 컴퓨터에 의해, 비스코어쿠스틱(viscoacoustic) 또는 점탄성 파동식들로 전방 파동장을 모델링하는 단계,
    상기 컴퓨터에 의해, 수반 비스코어쿠스틱(adjoint viscoacoustic) 또는 수반 점탄성 파동식들로 수반 파동장을 모델링하는 단계로서, 각각, 상기 수반 비스코어쿠스틱 파동식들은 압력 및 메모리 변수의 함수인 보조 변수에 기초하거나 상기 수반 점탄성 파동식들은 각각 응력 및 메모리 변수의 조합에 기초하는, 상기 수반 파동장을 모델링하는 단계;
    상기 컴퓨터에 의해, 상기 전방 파동장의 모델 및 상기 수반 파동장의 모델의 조합에 기초하여 비용 함수의 기울기를 획득하는 단계; 및
    상기 컴퓨터에 의해 상기 초기 지구물리학적 모델을 갱신하고 갱신된 지구물리학적 모델을 획득하기 위해 상기 비용 함수의 상기 기울기를 사용하는 단계를 포함하는, 방법.
  2. 제 1 항에 있어서,
    메모리 변수들의 공간 도함수들을 상기 수반 비스코어쿠스틱 또는 점탄성 파동식들로부터 빼기 위해 상기 보조 변수를 사용하는 단계를 추가로 포함하는, 방법.
  3. 제 1 항 또는 제 2 항에 있어서,
    상기 지구물리학적 모델을 획득하는 단계는 초기 유동학적 모델 및 음향 또는 탄성 매체 파라미터들을 사용하여 제공된 품질 팩터에 대해 완화 파라미터들을 획득하는 단계를 포함하는, 방법.
  4. 제 1 항 내지 제 3 항 중 어느 한 항에 있어서,
    상기 수반 파동장은 상기 수반 비스코어쿠스틱 수식들을 사용하여 모델링되는, 방법.
  5. 제 1 항 내지 제 4 항 중 어느 한 항에 있어서,
    상기 보조 변수는
    Figure pct00108
    이고, p는 압력이고,
    Figure pct00109
    은 메커니즘(l)에 대한 메모리 변수이고, l은 1 이상의 정수이고,
    Figure pct00110
    는 메커니즘(l)에 대한 반전 파라미터인, 방법.
  6. 제 1 항 내지 제 5 항 중 어느 한 항에 있어서,
    상기 수반 비스코어쿠스틱 수식들은
    Figure pct00111
    이고,
    Figure pct00112
    은 발산 연산자이고,
    t는 시간이고,
    κ는 긴장한 체적 관성계수(unrelaxed bulk modulus; limω→∞κ(ω)→κ)이고,
    ρ는 질량 밀도이고,
    Figure pct00113
    는 속도(3D 공간에서
    Figure pct00114
    )이고,
    Figure pct00115
    는 수반 압력이고,
    Figure pct00116
    는 비용 함수이고,
    Figure pct00117
    는 모델 파라미터들(즉, Q 또는
    Figure pct00118
    , κ 및 ρ의 몇몇 조합)이고,
    Figure pct00119
    는 수반 속도이고,
    Figure pct00120
    는 메커니즘(l)에 대한 완화 주파수이고,
    Figure pct00121
    및
    Figure pct00122
    는 압력 및 속도 각각에 관한 목적 함수(
    Figure pct00123
    )의 도함수들인, 방법.
  7. 제 1 항 내지 제 6 항 중 어느 한 항에 있어서,
    상기 수반 파동장은 상기 수반 점탄성 수식들을 사용하여 모델링되는, 방법.
  8. 제 7 항에 있어서,
    상기 보조 변수는
    Figure pct00124
    이고,
    Figure pct00125
    는 응력이고,
    Figure pct00126
    은 메커니즘(l)에 대한 메모리 변수이고, l은 1 이상의 정수이고,
    Figure pct00127
    는 등방성 긴장 시스템에 대한 탄성 구조 관계이고,
    Figure pct00128
    는 메모리 시스템에 대한 구조 관계인, 방법.
  9. 제 8 항에 있어서,
    상기 수반 점탄성 식들은
    Figure pct00129
    이고,
    t는 시간이고,
    Figure pct00130
    는 수반 응력이고,
    Figure pct00131
    ,
    Figure pct00132
    는 수반 속도이고,
    Figure pct00133
    는 메커니즘(l)에 대한 수반 메모리 필드이고,
    Figure pct00134
    이고,
    Figure pct00135
    는 메커니즘(l)에 대해 명확하게 규정된 변수이고,
    Figure pct00136
    이고,
    ρ는 질량 밀도이고,
    Figure pct00137
    및
    Figure pct00138
    는 응력 및 속도 각각에 관한 목적 함수(
    Figure pct00139
    )의 도함수들이고,
    Figure pct00140
    , 이는 라메 상수들(Lame constants; λ, μ)에 관해 등방성 긴장 시스템에 대한 탄성 구조 관계이고,
    Figure pct00141
    , 이는 상기 메모리 시스템에 대한 구조 관계이고(
    Figure pct00142
    는 식(9)을 사용하여 압축 및 왜파(shear wave) 품질 팩터로부터 계산된다),
    Figure pct00143
    = 스트레인 연산자이고,
    Figure pct00144
    이고,
    Figure pct00145
    는 비용 함수이고,
    Figure pct00146
    는 모델 파라미터들(즉, QP, QS 또는
    Figure pct00147
    , λ, μ 및 ρ의 몇몇 조합)인, 방법
  10. 제 1 항 내지 제 9 항 중 어느 한 항에 있어서,
    탄화 수소들을 관리하기 위해 갱신된 지표 아래 모델을 사용하는 단계를 추가로 포함하는, 방법.
  11. 제 1 항 내지 제 10 항 중 어느 한 항에 있어서,
    상기 지구물리학적 모델은 속도 모델을 포함하는, 방법.
  12. 제 1 항 내지 제 11 항 중 어느 한 항에 있어서,
    상기 지구물리학적 모델은 품질 팩터 모델을 포함하는, 방법.
  13. 제 1 항 내지 제 12 항 중 어느 한 항에 있어서,
    상기 보조 변수는 복수의 완화 메커니즘들에 기초하는, 방법.
  14. 제 1 항 내지 제 13 항 중 어느 한 항에 있어서,
    상기 비스코어쿠스틱 또는 점탄성 파동식들은 상기 보조 변수에 기초하는, 방법.
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